Paradoxo do aniversário: quantas pessoas numa sala para duas nascerem no mesmo dia

A conta não é de pessoas, é de pares — e quando o pedido é "pelo menos um", contar o contrário sai mais fácil.

O erro natural é pensar em quantas chances cada pessoa tem de coincidir com alguém. Mas quem se compara são os pares: com vinte e três pessoas existem duzentos e cinquenta e três pares, e cada par é uma chance de coincidência. Contar isso direto é trabalhoso porque os eventos se sobrepõem. Contar o contrário é simples: a chance de todos serem diferentes é uma multiplicação em que cada pessoa nova tem um dia a menos disponível. Como os dois casos somam um, o que falta para um é a resposta.

Como o vídeo resolve

1. A conta não é de pessoas, é de pares

   \binom{23}{2} = \frac{23 \cdot 22}{2} = 253

   Vamos testar vinte e três. Quem se compara são os pares: dão duzentos e cinquenta e três.

2. É mais fácil contar o contrário

   \frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdot\ldots\cdot\frac{343}{365}

   Conte o contrário: todos diferentes. Cada pessoa nova tem um dia livre a menos.

3. O produto cai abaixo de um meio

   \frac{365!}{342! \cdot 365^{23}} < \frac{1}{2}

   O produto fica abaixo de um meio. E os dois casos somam um: se um fica abaixo da metade, o outro passa. Bastam vinte e três.

Antes de fechar, tente com outra lista

Pense em quantas pessoas seriam necessárias para passar de noventa e nove por cento. É bem menos do que a intuição sugere — e a conta é a mesma, só com mais fatores no produto.

Lista de exercícios: Probabilidade

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