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Limite de 0/0: como resolver a indeterminação em quatro passos | Cálculo 1 - Pré-cálculo

Equipe aprovei.net · Publicado em · Atualizado em

Cálculo I · 2026-07-28

O limite de x ao quadrado menos quatro sobre x menos dois, quando x tende a dois, dá zero sobre zero na substituição direta. Não é erro: é o aviso de que existe um fator repetido para cancelar. Fatorando a diferença de quadrados, a expressão vira x mais dois e o limite sai em quatro.

O conceito

Zero sobre zero não é resposta: é o aviso de que numerador e denominador têm um fator em comum.

Num limite, o primeiro movimento é sempre substituir o valor. Se sai um número, acabou. Se sai zero sobre zero, a conta travou — e travou por um motivo: no ponto que interessa, as duas expressões valem zero, o que quer dizer que ambas têm o fator que zera ali. Achado o fator e cancelado, sobra uma expressão que não trava mais. Como o limite olha o entorno e nunca o ponto exato, esse cancelamento é permitido.

limite de (x² − 4) / (x − 2) quando x tende a 2O limite pergunta para onde a expressão vai quando x se aproxima de 2 — sem x nunca chegar a valer 2.
buraco em x = 22x
A expressão original e x mais dois desenham a mesma reta. A diferença é um ponto só, em x = 2, onde a original não existe. O limite é o valor que a reta alcança ali: 4.
O passo a passo

Como o vídeo resolve

  1. Substituição direta

    \frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}

    Trocando x por dois, o numerador dá zero e o denominador também. Zero sobre zero é uma indeterminação: não é uma resposta, é o aviso de que precisamos de outro caminho.

  2. Fatorar a diferença de quadrados

    x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

    Quatro é dois ao quadrado, então o numerador é uma diferença de quadrados — e toda diferença de quadrados fatora do mesmo jeito: a ao quadrado menos b ao quadrado vira a menos b, vezes a mais b.

  3. Cancelar o fator comum

    \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2

    O fator x menos dois aparece em cima e embaixo. Como x tende a dois mas nunca chega a valer dois, esse fator não é zero — e pode ser cancelado.

  4. Substituir na expressão simplificada

    \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4

    Sobrou x mais dois, que não tem divisão nem raiz para dar problema: aqui o valor no ponto é exatamente para onde a expressão tende. Dois mais dois é quatro.

Para guardar

Diferença de quadrados sempre fatora, e o fator repetido some quando não é zero.

Pratique

Antes de fechar, tente com outra lista

Troque o quatro por nove e refaça: a raiz é três, o numerador vira x menos três vezes x mais três, e o limite em três dá seis. O caminho é idêntico — só mudam os números.

Lista de exercícios: Limites

Todas as resoluções

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