Limite com indeterminação 0/0: como resolver a diferença de cubos em 4 passos

Cubo menos cubo não é beco sem saída: fatora sempre no mesmo padrão, e o trinômio que sobra não trava mais.

A diferença de quadrados fatora em dois fatores. A de cubos fatora em dois pedaços também, mas o segundo é um trinômio: a ao cubo menos b ao cubo vira a menos b, vezes a ao quadrado mais a b mais b ao quadrado. O primeiro pedaço é o que repete com o denominador e pode ser cancelado; o trinômio que fica é um polinômio comum, e nele substituir é seguro.

Como o vídeo resolve

1. Substituição direta

   \frac{3^3 - 27}{3 - 3} = \frac{0}{0}

   Trocando x por três: três ao cubo é vinte e sete, então o numerador zera. O denominador também. Zero sobre zero não é resposta, é aviso de que precisamos de outro caminho.

2. Fatorar a diferença de cubos

   x^3 - 27 = (x - 3)\left(x^2 + 3x + 9\right)

   Vinte e sete é três ao cubo, então o numerador é uma diferença de cubos. E ela sempre fatora no mesmo padrão: um fator com a raiz cúbica, x menos três, vezes o trinômio x ao quadrado mais três x mais nove.

3. Cancelar o fator comum

   \frac{(x - 3)\left(x^2 + 3x + 9\right)}{x - 3} = x^2 + 3x + 9

   O fator x menos três aparece em cima e embaixo. Como x nunca chega a valer três, esse fator não é zero — então dá para cancelar, e sobra o trinômio.

4. Substituir na expressão simplificada

   \lim_{x \to 3} \left(x^2 + 3x + 9\right) = 9 + 9 + 9 = 27

   Sobrou um polinômio, que não tem divisão nem raiz para dar problema: aqui o valor no ponto é exatamente para onde ele tende. Nove mais nove mais nove é vinte e sete.

Antes de fechar, tente com outra lista

Refaça com x ao cubo menos oito sobre x menos dois, com x indo a dois. Oito é dois ao cubo, então o padrão é o mesmo e o trinômio fica x ao quadrado mais dois x mais quatro.

Lista de exercícios: Limites

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