Domínio de função com raiz no denominador: falta uma condição — resolvido em quatro passos

Raiz no denominador junta duas exigências, e vale a mais restrita: o de dentro não pode ser negativo, e a raiz não pode dar zero.

O domínio é a lista de valores de x para os quais a conta existe nos números reais. Uma raiz quadrada sozinha aceita o zero, porque raiz de zero é zero. No denominador é outra história: divisor zero não existe. Quando as duas regras caem na mesma expressão, o valor que anula a raiz fica proibido, e o sinal de igual cai fora do intervalo.

Como o vídeo resolve

1. O que a raiz exige

   \sqrt{x-2} \;\Rightarrow\; x - 2 \geq 0

   Toda raiz quadrada de número real pede a mesma coisa: o que está dentro dela não pode ser negativo, senão a conta sai do conjunto dos reais. Até aqui, x maior ou igual a dois.

2. Onde essa raiz está

   \frac{3}{\sqrt{x-2}} \;\Rightarrow\; \sqrt{x-2} \neq 0

   Só que a raiz não está sozinha: ela está embaixo, no denominador. E denominador nenhum pode valer zero. Então a raiz também precisa ser diferente de zero.

3. As duas condições ao mesmo tempo

   x - 2 \geq 0 \;\;\text{e}\;\; x - 2 \neq 0 \;\Rightarrow\; x - 2 > 0

   A raiz só vale zero quando x menos dois vale zero — é esse mesmo valor que fica proibido. O que sobra é x menos dois maior que zero, sem o igual. É exatamente aqui que o sinal muda.

4. O domínio

   x > 2

   Passando o dois para o outro lado, o domínio é x maior que dois. Sem o igual: se x valesse dois, a raiz daria zero e a divisão por zero não existe.

Antes de fechar, tente com outra lista

Mude o três por qualquer número e o domínio não muda: a raiz e o denominador continuam impondo as mesmas duas condições. Quem mexeria no resultado seria um x somado dentro da raiz, que deslocaria o ponto proibido.

Lista de exercícios: Domínio de funções

Todas as resoluções