Dízima periódica 0,999...: a divisão por nove decide

Uma dízima só de noves é o inteiro seguinte. Duas escritas diferentes do mesmo número são o mesmo número.

Dividir por nove tem uma regularidade: um nono dá zero vírgula um, um, um, sem fim; dois nonos, zero vírgula dois, dois, dois. O algarismo que se repete é o próprio numerador. Levando isso até o nove, nove nonos dá zero vírgula nove, sem fim — mas nove nonos é nove dividido por nove, que é um. Não há contradição: é o mesmo número, e a dízima é só outra maneira de escrevê-lo.

Como o vídeo resolve

1. Dividir por nove repete o algarismo

   1 \div 9 = 0{,}111\ldots \quad 8 \div 9 = 0{,}888\ldots

   Divida por nove e olhe: um dá zero vírgula um, sem fim; oito dá zero vírgula oito, sem fim. É assim de um a oito — o algarismo repetido é o numerador.

2. Some as duas linhas

   9 \div 9 = 0{,}999\ldots

   Um mais oito dá nove, então some as duas linhas algarismo por algarismo, sem carregar nada: nove dividido por nove dá zero vírgula nove, sem fim.

3. A mesma divisão dá um inteiro

   9 \div 9 = 1

   Só que essa mesma divisão dá um inteiro — e duas escritas da mesma conta são o mesmo número.

Antes de fechar, tente com outra lista

Ache a fração de zero vírgula três, três, três. Pelo mesmo raciocínio é três nonos, que simplificado dá um terço.

Lista de exercícios: Dízimas periódicas

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